Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，下面結(jié)論中正確的是

②③④

．
①AC∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③AC₁與底面ABCD所成角的正切值是

2

2

；
④AD₁與BD為異面直線．

Answer 1

分析：由AC∩平面CB₁D₁=C，能判斷①不正確；由正方體的性質(zhì)和直線與平面垂直的判定定理，能判斷②正確；由線面角的求法能判斷③正確；由異面直線判定定理，能判斷④正確．

解答：解：由ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，知：
①∵AC∩平面CB₁D₁=C，∴AC與平面CB₁D₁相交，故①不正確；
②由正方體的性質(zhì)，得B₁D₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁D₁，故B₁D₁⊥平面 ACC₁A₁，故 B₁D₁⊥AC₁．
同理可得 B₁C⊥AC₁．再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得，AC₁⊥平面CB₁D₁ ，故②正確；
③AC₁與底面ABCD所成角的正切值tan∠C1AC=

CC1

AC

=

2

2

，故③正確；
④∵AD₁∩平面ABCD=A，BD?平面ABCD，A∉BD，
∴由異面直線判定理，知AD₁與BD為異面直線，故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意異面直線的判定，直線和平面平行、垂直的判定定理的應(yīng)用．