Question

已知數列{a_n}．{b_n}滿足：a₁=b₁=1，a₄=b₈，a_n+1=2a_n+1，b_n+2-2b_n+1+b_n=0，n∈N^*
（I）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）求數列{a_n•b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（I）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），…（2分）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列．
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1，n∈N^*． …（4分）
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴，n∈N^*，∴{b_n}是等差數列．
∵b₁=1，b₈=a₄=15，∴d=2，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1，n∈N^*． …（6分）
（II）∵a_n•b_n=（2n-1）（2ⁿ-1）=（2n-1）•2ⁿ-（2n-1），
∴S_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ-（1+3+…+2n-1）．…（7分）
設A=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
則2A=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，…（9分）
以上兩式相減得：A=-2-2（2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6，
因此，S_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6-n²． …（12分）
分析：（I）通過a_n+1=2a_n+1，推出{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列．
求數列{a_n} 的通項公式；利用b_n+2-2b_n+1+b_n=0，推出{b_n}是等差數列．求出通項公式．
（II）寫出a_n•b_n的表達式，求出它的前n項和S_n的表達式，利用錯位相減法求出數列{a_n•b_n}的前n項和S_n．
點評：本題是中檔題，考查數列通項公式的求法，構造新數列是解題的關鍵，錯位相減法是一個等差數列與一個等比數列對應項乘積的數列求法的常用方法，值得同學注意，高考常考題目類型．