已知圓C:x2+y2一2x一2y+l=0,直線:y=kx,且與圓C交于P,Q兩點,點M(0,b)滿足MP⊥MQ.
(1)當b=1時,求k的值;
(2)若k>3,求b的取值范圍.
分析:(1)將圓的方程化為標準方程,找出圓心C的坐標與半徑,由b=1確定出M的坐標,由MP與MQ垂直得到直線l過圓心,將圓心坐標代入y=kx即可求出k的值;
(2)將圓C的方程與直線l方程聯(lián)立,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,設P(x1,y1),Q(x2,y2),利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2與x1x2,由MP與MQ垂直,利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式,將表示出x1+x2與x1x2代入,整理后得到b+
1
b
=
2k2+2k
1+k2
,設g(k)=
2k2+2k
1+k2
,求出g(k)的導函數(shù),判斷導函數(shù)的正負,得到g(k)的單調(diào)區(qū)間,得到g(k)的范圍為b+
1
b
的范圍,變形后計算即可得到b的范圍.
解答:解:(1)將圓的方程化為標準方程得:(x-1)2+(y-1)2=1,
當b=1時,點M(0,1)在圓上,
故當且僅當直線l過圓心C時滿足MP⊥MQ,
∵圓心坐標為(1,1),
∴將x=1,y=1代入得:k=1;
(2)由
x2+y2-2x-2y+1=0
y=kx

消去y,可得(1+k2)x2-2(1+k)x+1=0,
設P(x1,y1),Q(x2,y2),
則x1+x2=
2(1+k)
1+k2
,x1x2=
1
1+k2
,
由MP⊥MQ,
得到
MP
MQ
=0,即x1x2+(y1-b)(y2-b)=0,
又y1=kx1,y2=kx2,
∴x1x2+(kx1-b)(kx2-b)=0,即(1+k2)x1x2-kb(x1+x2)+b2=0,
∴(1+k2)×
1
1+k2
-kb×
2(1+k)
1+k2
+b2=0,
當b=0時,此式不成立,從而b+
1
b
=
2k2+2k
1+k2
,
令g(k)=
2k2+2k
1+k2
,則g′(k)=
(4k+2)(1+k2)-(2k2+2k)•2k
(1+k2)2
=
-2k2+4k+2
1+k2

設h(k)=-2k2+4k+2,此函數(shù)在(3,+∞)上單調(diào)遞減,即h(k)<h(3)<0,
故g′(k)在(3,+∞)上為負,
∴g(k)=
2k2+2k
1+k2
在(3,+∞)上單調(diào)遞減,即g(k)<g(3)=
12
5
,
且g(k)-2=
2k2+2k
1+k2
-2=
2k-2
1+k2
>0,
∴2<b+
1
b
12
5
,
6-
11
5
<b<
6+
11
5
,且b≠1.
點評:此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識有:圓的標準方程,平面向量的數(shù)量積運算法則,韋達定理,研究利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,是一道綜合性較強的試題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓C:x2+y2-6x-4y+8=0.以圓C與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點,則適合上述條件雙曲線的標準方程為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)一個圓與x軸相切,圓心在直線3x-y=0上,且被直線x-y=0所截得的弦長為2
7
,求此圓方程.
(2)已知圓C:x2+y2=9,直線l:x-2y=0,求與圓C相切,且與直線l垂直的直線方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•普陀區(qū)一模)如圖,已知圓C:x2+y2=r2與x軸負半軸的交點為A.由點A出發(fā)的射線l的斜率為k,且k為有理數(shù).射線l與圓C相交于另一點B.
(1)當r=1時,試用k表示點B的坐標;
(2)當r=1時,試證明:點B一定是單位圓C上的有理點;(說明:坐標平面上,橫、縱坐標都為有理數(shù)的點為有理點.我們知道,一個有理數(shù)可以表示為
qp
,其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì))
(3)定義:實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.
當0<k<1時,是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”,它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標、縱坐標和半徑r的數(shù)值構(gòu)成?若能,請嘗試探索其構(gòu)造方法;若不能,試簡述你的理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•瀘州一模)已知圓C:x2+y2=r2(r>0)與拋物線y2=40x的準線相切,若直線l:
x
a
y
b
=1
與圓C有公共點,且公共點都為整點(整點是指橫坐標.縱坐標都是整數(shù)的點),那么直線l共有(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓C:x2+y2=4與直線L:x+y+a=0相切,則a=( �。�

查看答案和解析>>

同步練習冊答案