Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，則|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$2\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的值是$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 根據(jù)$|\overrightarrow{a}|=2，|\overrightarrow|=1$及$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{π}{3}$便可求出$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}$，以及$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}，（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}$的值，從而求出$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|$及$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$的值．

解答 解：$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}$
=$4+4×2×1×\frac{1}{2}+4$
=12；
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=$4+2×2×1×\frac{1}{2}+1=7$，
$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=$4-2×2×1×\frac{1}{2}+1=3$；
∴$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=2\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{7}，|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{3}$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{21}$．
故答案為：$2\sqrt{3}$，$\sqrt{21}$．

點評 考查數(shù)量積的運算及計算公式，要求$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|$而求$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}$的方法．