Question

已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022021326504.png" style="vertical-align:middle;" />，若在上為增函數(shù)，則稱為“一階比增函數(shù)”；若在上為增函數(shù)，則稱為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為.
(Ⅰ)已知函數(shù)，若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(Ⅱ)已知，且的部分函數(shù)值由下表給出，
 求證：；
(Ⅲ)定義集合
請問：是否存在常數(shù)，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（I）(Ⅱ)見解答(Ⅲ).

試題分析：（I）理解且的意義,代入后利用函數(shù)的性質(zhì)求解; (Ⅱ)通過表格得到 ，再運(yùn)用為增函數(shù)建立不等式，導(dǎo)出，運(yùn)用 即可. (Ⅲ)判斷 即運(yùn)用反證法證明,如果使得則利用即為增函數(shù)一定可以找到一個(gè)，使得，對成立;同樣用反證法證明證明在上無解;從而得到，對成立,即存在常數(shù)，使得，，有成立,選取一個(gè)符合條件的函數(shù)判斷 的最小值是 ,由上面證明結(jié)果確定 即是符合條件的所有函數(shù)的結(jié)果.
試題解析：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022022356666.png" style="vertical-align:middle;" />且，
即在是增函數(shù)，所以        2分
而在不是增函數(shù)，而 
當(dāng)是增函數(shù)時(shí)，有，所以當(dāng)不是增函數(shù)時(shí)，.
綜上得       4分
(Ⅱ) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022022356666.png" style="vertical-align:middle;" />，且 
所以，
所以，
同理可證，
三式相加得 
所以                                                    6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022022637596.png" style="vertical-align:middle;" />所以 
而，所以 
所以                                          8分
(Ⅲ) 因?yàn)榧��?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022022715977.png" style="vertical-align:middle;" /> 且存在常數(shù) ,使得任取 
所以，存在常數(shù) ，使得  對成立
我們先證明對成立
假設(shè)使得，
記 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022022902495.png" style="vertical-align:middle;" />是二階增函數(shù)，即是增函數(shù).
所以當(dāng)時(shí)，，所以 
所以一定可以找到一個(gè)，使得 
這與  對成立矛盾                                11分
對成立
所以，對成立
下面我們證明在上無解
假設(shè)存在，使得，
則因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022022902495.png" style="vertical-align:middle;" />是二階增函數(shù)，即是增函數(shù)
一定存在，這與上面證明的結(jié)果矛盾
所以在上無解
綜上，我們得到，對成立
所以存在常數(shù)，使得，，有成立
又令，則對成立，
又有在上是增函數(shù)，所以，
而任取常數(shù)，總可以找到一個(gè)，使得時(shí)，有 
所以的最小值為.                                         14分