Question

【題目】（本小題滿分12分）已知圓C過點(diǎn)P（1，1），且與圓M：關(guān)于直線對稱．

（1）求圓C的方程：

（2）設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動點(diǎn)，求最小值；

（3）過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C交與A，B，且直線ＰＡ和直線ＰＢ的傾斜角互補(bǔ)，Ｏ為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線ＯＰ與直線ＡＢ是否平行？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）－4；（3）平行．

【解析】

試題（1）由題意圓心與圓心關(guān)于直線對稱；（2）設(shè)，由（1）有，，可設(shè)，代入可求得的最小值；（3）本題證明用解析法，由于直線ＰＡ和直線ＰＢ的傾斜角互補(bǔ)，設(shè)方程為，則方程為，把它們代入圓的方程求得的坐標(biāo)，計(jì)算得，即．

試題解析：（1）設(shè)圓心C（a,b），則 解得 a=0 b=0

所以圓C的方程為 ， 將點(diǎn)P的坐標(biāo)代人得， 所以圓C的方程為．

（2）設(shè)Q（x,y） ，則

所以

所以的最小值為 -4 （可由線性規(guī)劃或三角代換求得）

（3）由題意可知，直線ＰＡ和直線ＰＢ的斜率存在且互為相反數(shù)

故 可設(shè)ＰＡ： ＰＢ：

由 得

因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)是 x=1,一定是方程的解 故可得

同理

所以

所以直線ＯＰ與直線ＡＢ一定平行．