已知定義在上的三個函數(shù)，，，且在處取得極值．
（1）求a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）求證：當時，恒有成立．[來源

（1），單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．

解析試題分析：解題思路：（1）求導函數(shù)，利用求值，再利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）作差，構(gòu)造函數(shù)，求最值，即證明不等式恒成立．規(guī)律總結(jié)：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：①求導函數(shù)；②解；③得到區(qū)間即為所求單調(diào)區(qū)間；（2）證明不等式恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．
試題解析：（1），，，
∴．
而，，令得；令 得．∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．
（2）∵，∴，∴，
欲證，只需要證明，即證明．
記，∴，
當時，，∴在上是增函數(shù)，
∴，∴，即，
∴，故結(jié)論成立．
考點：1．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2．不等式恒成立問題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在上恒成立，求所有實數(shù)的值；
（3）對任意的，證明：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù).
（1）用反證法證明：函數(shù)不可能為偶函數(shù)；
（2）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

函數(shù)．
（1）若在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）若，若函數(shù)在 [1，3]上恰有兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

某小區(qū)想利用一矩形空地建市民健身廣場，設(shè)計時決定保留空地邊上的一水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個等腰直角三角形，其中，，且中，，經(jīng)測量得到．為保證安全同時考慮美觀，健身廣場周圍準備加設(shè)一個保護欄．設(shè)計時經(jīng)過點作一直線交于，從而得到五邊形的市民健身廣場，設(shè)．
（1）將五邊形的面積表示為的函數(shù)；
（2）當為何值時，市民健身廣場的面積最大？并求出最大面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（滿分16分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).
（1）證明：是上的偶函數(shù)；
（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）已知正數(shù)滿足：存在，使得成立，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.
證明：（1）存在唯一，使；
（2）存在唯一，使，且對（1）中的.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（13分）（2011•湖北）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b為常數(shù)，已知曲線y=f（x）與y=g（x）在點（2，0）處有相同的切線l．
（Ⅰ） 求a、b的值，并寫出切線l的方程；
（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三個互不相同的實根0、x1、x2，其中x1＜x2，且對任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

對，記，函數(shù)的最小值是     .

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