Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P（3，1）在橢圓上，△PF₁F₂的面積為2$\sqrt{2}$．
（1）①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②若∠F₁QF₂=$\frac{π}{3}$，求QF₁•QF₂的值．
（2）直線y=x+k與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）由三角形的面積${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•1，即可求得$c=2\sqrt{2}$，將點(diǎn)P（3，1）代入橢圓方程，由橢圓的性質(zhì)a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；當(dāng)$θ=\frac{π}{3}$時，根據(jù)橢圓的性質(zhì)及完全平方公式，即可求得QF₁•QF₂的值；
（2）將直線方程代入橢圓方程，求得關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理求得x₁•x₂及y₁•y₂，由題意可知$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得實(shí)數(shù)k的值．

解答 解：（1）①由條件，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，將點(diǎn)P（3，1）代入橢圓方程，
∴$\frac{9}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，
由${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•1=2$\sqrt{2}$，即$c=2\sqrt{2}$…（2分）
又a²=b²+c²，
∴a²=12，b²=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$；…（4分）
②當(dāng)$θ=\frac{π}{3}$時，有$\left\{\begin{array}{l}Q{F_1}+Q{F_2}=2a=4\sqrt{3}\\ QF_1^2+QF_2^2-Q{F_1}•Q{F_2}={（2c）^2}=32\end{array}\right.$…（6分）
∴$Q{F_1}•Q{F_2}=\frac{16}{3}$…（8分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1}\\{y=x+k}\end{array}}\right.$，得4x²+6kx+3k²-12=0…（10分）
由韋達(dá)定理及直線方程可知：${x_1}+{x_2}=-\frac{3k}{2}，{x_1}{x_2}=\frac{{3{k^2}-12}}{4}，{y_1}{y_2}=\frac{{{k^2}-12}}{4}$，…（12分）
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={k^2}-6=0$，
解得：$k=±\sqrt{6}$，此時△=120＞0，滿足條件，
因此$k=±\sqrt{6}$…（14分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積公式，韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)的綜合運(yùn)用，考查計算能力，屬于中檔題．