Question

12．等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C-AB-D的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，M，N分別是AC．BC的中點，則EM，AN所成角的余弦值等于（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 先找出二面角的平面角，建立邊之間的等量關系，再利用向量法將所求異面直線用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．

解答 解：設AB=2，作CO⊥面ABDE，
OH⊥AB，則CH⊥AB，∠CHO為二面角C-AB-D的平面角，
CH=$\sqrt{3}$，OH=CHcos∠CHO=1，
結合等邊三角形ABC與正方形ABDE可知此四棱錐為正四棱錐，
則AN=EM=CH=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$），$\overrightarrow{EM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AE}$，
∴$\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{EM}$=$\frac{1}{2}$．
故EM，AN所成角的余弦值$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{6}$，
故選D．

點評 本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．