Question

已知函數(shù)f（x）∈{x^-1，log₂|x|，x 

1

2

}，且f（x）為偶函數(shù)．
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設函數(shù)g（x）=m•2^f（x）+x²（m∈R）．
①若函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，-2）上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
②當m＞

1

4

時，證明：g（x）＞

1

4

x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)每個函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)f（x）；
（2）①借助于二次函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)求解；
②將不等式化簡歸零，而后將問題轉化為函數(shù)的最值問題來解．

解答： 解：（1）若f（x）=x^-1，則f（-x）=（-x）^-1=-x^-1=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，不合題意；
若f(x)=x

1

2

，則f（x）的定義域為[0，+∞），所以f（x）即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，不合題意；
若f（x）=log₂|x|，則f（-x）=log₂|-x|=log₂|x|=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，符合題意，
綜上可知，函數(shù)f（x）=log₂|x|．
（2）g(x)=m•2log2|x|+x2．
①因為x∈（-∞，-2）時，g（x）=x²-mx．
所以，當m≥0時，g（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，符合題意；
當m＜0時，要使得g（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，須且只須

m

2

≥-2，
即m≥-4，所以-4≤m≤0．
綜上所述，所求m的取值范圍是[-4，+∞）．
②當x∈[1，2]時，g（x）=x²+mx．
所以g(x)＞

1

4

x+

1

x

?x2+mx＞

1

4

x+

1

x

?(m-

1

4

)x2-1＞-x3．
令F（x）=（m-

1

4

）x²-1（1≤x≤2），G（x）=-x³（1≤x≤2）．
因為m＞

1

4

，所以函數(shù)F（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
所以F（x）_min=F（1）=m-

5

4

＞

1

4

-

5

4

=-1，所以F（x）＞-1，
又因為函數(shù)G（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
所以G（x）_max=G（1）=-1，所以G（x）≤-1，
所以F（x）＞G（x），
所以G（x）＞

1

4

x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等基礎知識，以及利用函數(shù)思想解決不等式恒成立問題的基本思路．