Question

5．已知復(fù)數(shù)z=1+bi（b為正實(shí)數(shù)），且（z-2）²為純虛數(shù)．
（Ⅰ）求復(fù)數(shù)z；
（Ⅱ）若$ω=\frac{z}{2+i}$，求復(fù)數(shù)ω的模|ω|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把z=1+bi代入（z-2）²化簡(jiǎn)，再結(jié)合已知條件即可求出b的值，則復(fù)數(shù)z可求；
（Ⅱ）把z=1+i代入$ω=\frac{z}{2+i}$，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算得答案．

解答 解：（Ⅰ）（z-2）²=（-1+bi）²=1-b²-2bi，
∵1-b²-2bi為純虛數(shù)，∴1-b²=0，且-2b≠0，解得b=1或b=-1（舍），
∴z=1+i；
（Ⅱ）$ω=\frac{1+i}{2+i}=\frac{（1+i）（2-i）}{5}=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i$，
∴$|ω|=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．