Question

設命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-ax+

1

16

）的定義域R，命題q：不等式

3x+16

＜4+ax對一切正實數(shù)x均成立，如果命題p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,簡易邏輯

分析：根據(jù)對數(shù)式真數(shù)的特點，一元二次不等式的解和判別式△的關(guān)系，以及通過觀察法判斷函數(shù)取值情況的方法即可求出命題p，q下a的取值范圍，根據(jù)p∨q為真，p∧q為假得p真q假，或p假q真，求出這兩種情況下a的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：由命題p知：不等式ax2-ax+

1

16

＞0的解集為R；
若a=0，

1

16

＞0，符合條件；
若a≠0，則：

a＞0 △=a2- 1 4 a＜0

，解得：
0＜a＜

1

4

；
∴命題p：0≤a＜

1

4

；
由命題q知：a＞

3x+16 -4

x

，對于任意正實數(shù)x恒成立；
∵

3x+16 -4

x

=

3x

( 3x+16 +4)x

=

3

3x+16 +4

，x＞0；
∴

3x+16

+4＞8，0＜

3

3x+16 +4

＜

3

8

；
∴a≥

3

8

；
即命題q：a≥

3

8

；
∴如果命題p∨q為真，p∧q為假，則p，q一真一假；
∴p真q假或p假q真；
即

0≤a＜ 1 4 a＜ 3 8

，或

a＜0，或a≥ 1 4 a≥ 3 8

，解得：
0≤a＜

1

4

，或a≥

3

8

；
∴實數(shù)a的取值范圍為[0，

1

4

）∪[

3

8

，+∞）．

點評：考查對數(shù)函數(shù)的定義域，一元二次不等式的解的情況和判別式△的關(guān)系，以及觀察的方法求函數(shù)值域，p∨q，p∧q真假和p，q真假的關(guān)系．