Question

（2008•河西區(qū)三模）已知函數(shù)f（x）=3^x-m（0≤x≤4，m為常數(shù)）的圖象過點(diǎn)（1，

1

3

），f（x）的反函數(shù)f^-1（x），則F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域?yàn)椋ā　。?/div>

A．[2，5]

B．[1，5]

C．[1，10]

D．[2，10]

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分析：由函數(shù)f（x）=3^x-m（0≤x≤4，m為常數(shù)）的圖象過點(diǎn)（1，

1

3

）求出m的值，求出函數(shù)的反函數(shù)，代入
F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）整理后得答案．

解答：解：由f（x）=3^x-m（0≤x≤4，m為常數(shù)）的圖象過點(diǎn)（1，

1

3

），
得31-m=

1

3

，解得m=2．
∴f（x）=3^x-2（0≤x≤4）．
由y=f（x）=3^x-2，得x=log₃y+2，
∴f^-1（x）=log₃x+2（

1

9

≤x≤9）．
則F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）
=(log3x+2)2-log3x2-2
=(log3x+1)2+1（

1

3

≤x≤3）．
∴F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域?yàn)閇1，5]．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的反函數(shù)的求法，考查了函數(shù)的值域的求法，解答此題的關(guān)鍵在于注意反函數(shù)的定義域及最后和函數(shù)的定義域，是中檔題也是易錯(cuò)題．

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）=3^x-m（0≤x≤4，m為常數(shù)）的圖象過點(diǎn)（1，

1

3

）求出m的值，求出函數(shù)的反函數(shù)，代入
F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）整理后得答案．

解答：解：由f（x）=3^x-m（0≤x≤4，m為常數(shù)）的圖象過點(diǎn)（1，

1

3

），
得31-m=

1

3

，解得m=2．
∴f（x）=3^x-2（0≤x≤4）．
由y=f（x）=3^x-2，得x=log₃y+2，
∴f^-1（x）=log₃x+2（

1

9

≤x≤9）．
則F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）
=(log3x+2)2-log3x2-2
=(log3x+1)2+1（

1

3

≤x≤3）．
∴F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域?yàn)閇1，5]．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的反函數(shù)的求法，考查了函數(shù)的值域的求法，解答此題的關(guān)鍵在于注意反函數(shù)的定義域及最后和函數(shù)的定義域，是中檔題也是易錯(cuò)題．