Question

14．已知函數(shù)f（x）=x^a，的圖象過點（4，2），令a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$，n∈N^*，記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₅=$\sqrt{2016}$-1．

Answer 1

分析 由2=4^α，解得α，可得$f（x）=\sqrt{x}$．因此a_n=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，n∈N^*，利用“累加求和”與“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：∵2=4^α，解得$α=\frac{1}{2}$．
∴$f（x）=\sqrt{x}$．
∴a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，n∈N^*，
則S₂₀₁₅=$（\sqrt{2}-1）$+$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$+…+（$\sqrt{2016}-\sqrt{2015}$）
=$\sqrt{2016}$-1，
故答案為：$\sqrt{2016}$-1．

點評 本題考查了函數(shù)的解析式、“累加求和”與“裂項求和”方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．