設(shè)f(x)=數(shù)學(xué)公式是奇函數(shù)(a>0且a≠1),
(1)求出m的值
(2)若f(x)的定義域?yàn)閇α,β](β>α>1),

判斷f(x)在定義域上的增減性,并加以證明.

解:(1)由題意可得f(-x)+f(x)=0   …  

=
   …
∴(mx)2-1=x2-1
∴m=±1 
∴m=-1     m=1(舍)  …
(2)當(dāng)0<m<1時(shí),f(x)為增函數(shù);m>1時(shí),f(x)為減函數(shù),判斷如下
∵f(x)的定義域?yàn)閇α,β](β>α>0),則[α,β]?(1,+∞).
設(shè)x1,x2∈[α,β],則1<x1<x2
f(x1)-f(x2=loga
∵(1+x1)(x2-1)-(x1-1)(1+x2)=2(x2-x1)>0
∴(1+x1)(x2-1)>(x1-1)(1+x2)即>1
∴當(dāng)0<m<1時(shí),,即f(x1)<f(x2);
當(dāng)m>1時(shí),loga>0,即定義在證明函數(shù)f(x1)>f(x2),
故當(dāng)0<m<1時(shí),f(x)為增函數(shù);m>1時(shí),f(x)為減函數(shù).                   …
分析:(1)由 題意可得f(-x)=-f(x),代入可求m
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明:設(shè)x1,x2∈[α,β],則1<x1<x2,對(duì)函數(shù)值作差f(x1)-f(x2)=loga結(jié)合已知可判斷的正負(fù),進(jìn)而討論當(dāng)0<m<1時(shí),及m>1時(shí),f(x1)-f(x2)的符號(hào),即可證明
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了奇函數(shù)的定義f(-x)=-f(x)的應(yīng)用,及函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的單調(diào)性的定義在證明函數(shù)單調(diào)中的應(yīng)用,屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R的函數(shù)f(x)=
-2x+a2x+1+b
(a,b為實(shí)常數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)a=b=1時(shí),證明:f(x)不是奇函數(shù);
(Ⅱ)設(shè)f(x)是奇函數(shù),求a與b的值;
(Ⅲ)當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí),證明對(duì)任何實(shí)數(shù)x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),在(
1
2
,1)
上單調(diào)遞增,且滿(mǎn)足f(-x)=f(x-1),給出下列結(jié)論:①f(1)=0;②函數(shù)f(x)的周期是2;③函數(shù)f(x)在(-
1
2
,0)
上單調(diào)遞增;④函數(shù)f(x+1)是奇函數(shù).
其中正確的命題的序號(hào)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

15、設(shè)函數(shù)f(x)定義在R上,且f(x+1)是偶函數(shù),f(x-1)是奇函數(shù),則f(2003)=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

4、設(shè)函數(shù)f(x)=x2+mx(x∈R),則下列命題中的真命題是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列命題中正確的是( 。
A、設(shè)f(x)=sin(2x+
π
3
),則?x∈(-
π
3
,
π
6
)
,必有f(x)<f(x+0.1)
B、?x0∈R.便得
1
2
sinx0+
3
2
cosx0>1
C、設(shè)f(x)=cos(x+
π
3
),則函數(shù)y=f(x+
π
6
)是奇函數(shù)
D、設(shè)f(x)=2sin2x,則f(x+
π
3
)=2sin(2x+
π
3

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