Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若asinA=（a-b）sinB+csinC，
（I）求角C的值_：
（II） 若c=2，且sinC+sin（B-A）=3sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過正弦定理化簡表達式，利用余弦定理求出C的大�。�
（2）通過三角形的內(nèi)角和，以及兩角和的正弦函數(shù)，以及sinC+sin（B-A）=3sin2A，推出cosA=0，判斷三角形的形狀，求出a，b的值，然后求解三角形的面積．
解答：解：（Ⅰ）∵asinA=（a-b）sinB+csinC，
由正弦定理，得a²=（a-b）b+c²，
即a²+b²-c²=ab．①
由余弦定理得cosC=，
結合0＜C＜π，得C=．    …（6分）
（Ⅱ）由 C=π-（A+B），得sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA，
∵sinC+sin（B-A）=3sin2A，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA，
整理得sinBcosA=3sinAcosA．  …（8分）
若cosA=0，即A=時，△ABC是直角三角形，且B=，
于是b=ctanB=2tan=，∴S_△ABC=bc=． …（10分）
若cosA≠0，則sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a．②
聯(lián)立①②，結合c=2，解得a=，b=，
∴S_△ABC=absinC=×××=．
綜上，△ABC的面積為或．…（12分）
點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應用，解三角形的指數(shù)，考查分析問題解決問題的能力，計算能力．