在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若asinA=(a-b)sinB+csinC,
(I)求角C的值:
(II) 若c=2,且sinC+sin(B-A)=3sin2A,求△ABC的面積.
【答案】
分析:(1)通過正弦定理化簡表達式,利用余弦定理求出C的大。
(2)通過三角形的內(nèi)角和,以及兩角和的正弦函數(shù),以及sinC+sin(B-A)=3sin2A,推出cosA=0,判斷三角形的形狀,求出a,b的值,然后求解三角形的面積.
解答:解:(Ⅰ)∵asinA=(a-b)sinB+csinC,
由正弦定理

,得a
2=(a-b)b+c
2,
即a
2+b
2-c
2=ab.①
由余弦定理得cosC=

,
結合0<C<π,得C=

. …(6分)
(Ⅱ)由 C=π-(A+B),得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA,
∵sinC+sin(B-A)=3sin2A,
∴sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA,
整理得sinBcosA=3sinAcosA. …(8分)
若cosA=0,即A=

時,△ABC是直角三角形,且B=

,
于是b=ctanB=2tan

=

,∴S
△ABC=

bc=

. …(10分)
若cosA≠0,則sinB=3sinA,由正弦定理得b=3a.②
聯(lián)立①②,結合c=2,解得a=

,b=

,
∴S
△ABC=

absinC=

×

×

×

=

.
綜上,△ABC的面積為

或

.…(12分)
點評:本題考查正弦定理與余弦定理的應用,解三角形的指數(shù),考查分析問題解決問題的能力,計算能力.