Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且$\sqrt{3}$acosC=（2b-$\sqrt{3}$c）cosA．
（1）求角A的大小；
（2）已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，若a₁sinA=1，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，求{$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式及內(nèi)角和定理，化簡(jiǎn)整理即可得到所求角；
（2）等差數(shù)列{a_n}的公差d不為零，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得a₁=d=2，即有$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由裂項(xiàng)相消求和方法，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）$\sqrt{3}$acosC=（2b-$\sqrt{3}$c）cosA，
可得2bcosA=$\sqrt{3}$（acosC+ccosA），
由正弦定理可得2sinBcosA=$\sqrt{3}$（sinAcosC+sinCcosA）
=$\sqrt{3}$sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinB（sinB＞0），
即有cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
0＜A＜π，可得A=$\frac{π}{6}$；
（2）等差數(shù)列{a_n}的公差d不為零，
若a₁sinA=1，可得a₁=$\frac{1}{sin\frac{π}{6}}$=2，
a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，可得a₄²=a₂a₈，
即有（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+7d），
化簡(jiǎn)可得a₁=d=2，
則a_n=a₁+（n-1）d=2n，
$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
則前n項(xiàng)和S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形的正弦定理和三角函數(shù)的和差公式，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．