Question

數(shù)列{a_n}，{b_n}（n=1，2，3…）由下列條件確定：①a₁＜0，b₁＞0；②當(dāng)k≥2時，a_k與b_k滿足：當(dāng)a_k-1+b_k-1≥0時，a_k=a_k-1，；當(dāng)a_k-1+b_k-1＜0時，，b_k=b_k-1．
（Ⅰ）若a₁=-1，b₁=1，求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）在數(shù)列{b_n}中，若，用a₁，b₁表示b_k（k∈[1，2，…，s]）并求．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a₁+b₁≥0，可得 a₂=a₁=-1，b₂==0；根據(jù)a₂+b₂=-1＜0，可得 a₃ 和 b₃ 的值；再根據(jù) a₃+b₃=-＜0，求得a₄= 的值．
（2）通過分類討論可知，所以無論哪種情況，都有，從而可獲得數(shù)列b_n-a_n為等比數(shù)列進而可獲得問題的解答；結(jié)合條件經(jīng)分類討論可知≥0，對于2≤k≤n，a_k=a_k-1，b_k=從而a_n=a_n-1 =a₁．由（1）即可獲得問題的結(jié)論．
解答：解：：（1）若a₁=-1，b₁=1，滿足若a₁+b₁≥0，則 a₂=a₁=-1，b₂==0．
此時，a₂+b₂=-1＜0，a₃==-，b₃=b₂=0．
此時 a₃+b₃=-＜0，a₄==-．
綜上可得，a₂=-1，a₃=-，a₄=-．
（2）當(dāng)≥0時，；
＜0時，，
所以無論哪種情況，都有．
因此，數(shù)列{b_k-a_k}是首相為b₁-a₁，公比為的等比數(shù)列，∴．
由b₁＞b₂＞＞b_n（n≥2）時，b_k≠b_k-1（2≤k≤n），由上可知，不成立，
所以≥0，對于2≤k≤n，a_k=a_k-1，b_k=，于是a_n=a_n-1 =a₁，
由此可得，b_k=a₁+（b₁-a₁）•．
故=na₁+（b₁-a₁）•（1++++…+）=na₁+（b₁-a₁）•[2-]=（n-2）a₁+2b₁-（b₁-a₁）•．
點評：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題，在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、數(shù)列求和的知識以及問題轉(zhuǎn)化的知識，值得同學(xué)們體會和反思，屬于難題．