【答案】
分析:解法一:
(1)根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可得:CD⊥面ABC,所以DC⊥AB.
(2)由(Ⅰ)知CD⊥面ABC.二面角的度量關鍵在于找出它的平面角,構造平面角常用的方法就是三垂線法.過點C作CM⊥AB于M,連接DM.所以∠CMD是二面角D-AB-C的平面角.
(3)求異面直線所成的角,一般有兩種方法,一種是幾何法,其基本解題思路是“異面化共面,認定再計算”,即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中,結合余弦定理來求.還有一種方法是向量法,即建立空間直角坐標系,利用向量的代數(shù)法和幾何法求解.取三邊AB、AD、BC的中點M、N、O,連接AO、MO、NO、MN、OD,則OM∥AC,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/0.png)
;MN∥BD,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/1.png)
.
∴∠OMN是異面直線AC與BD所成的角或其補角.
解法二:
以點O為原點,OM所在直線為x軸,OC所在直線為y軸,OA所在直線為z軸,建立空間直角坐標系.這種解法的好處就是:(1)解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理,因為這些可以用向量方法來解決.(2)即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出,因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可.
(1)設CD=1,則O(0,0,0),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/2.png)
,
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,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/4.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/5.png)
.故由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/6.png)
得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/7.png)
,即AB⊥CD.
(2)由CD⊥平面ABC得,平面ABC的法向量為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/8.png)
,設平面ABD的法向量為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/9.png)
,所以這兩個法向量的夾角的大�。ㄕ担┘礊槎娼荄-AB-C的大��;
(3)因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/10.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/11.png)
,故異面直線AC和BD所成角的大小即為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/12.png)
的夾角的大�。�
解答:解法一:
(Ⅰ)證明:∵面ABC⊥面BCD,∠BCD=90°,且面ABC∩面BCD=BC,
∴CD⊥面ABC.(2分)
又∵AB?面ABC,
∴DC⊥AB.(4分)
(Ⅱ)解:如圖,過點C作CM⊥AB于M,連接DM.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/images13.png)
由(Ⅰ)知CD⊥面ABC.
∴CM是斜線DM在平面ABC內(nèi)的射影,
∴DM⊥AB.(三垂線定理)
∴∠CMD是二面角D-AB-C的平面角.(6分)
設CD=1,由∠BCD=90°,∠CBD=30°得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/13.png)
,BD=2.
∵△ABC是正三角形,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/14.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/15.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/16.png)
.
∴二面角D-AB-C的大小為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/17.png)
.(9分)
(Ⅲ)解:如圖,取三邊AB、AD、BC的中點M、N、O,
連接AO、MO、NO、MN、OD,
則OM∥AC,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/18.png)
;MN∥BD,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/19.png)
.
∴∠OMN是異面直線AC與BD所成的角或其補角.(11分)
∵△ABC是正三角形,且平面ABC⊥平面BCD,
∴AO⊥面BCD,△AOD是直角三角形,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/20.png)
.
又∵CD⊥面ABC,故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/21.png)
.
在△OMN中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/22.png)
,MN=1,ON=1.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/23.png)
.
∴異面直線AC和BD所成角為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/24.png)
.(14分)
解法二:
(Ⅰ)分別取BC、BD的中點O、M,連接AO、OM.
∵△ABC是正三角形,
∴AO⊥BC.
∵面ABC⊥面BCD,且面ABC∩面BCD=BC,
∴AO⊥平面BCD.
∵OM是△BCD的中位線,且CD⊥平面ABC,
∴OM⊥平面ABC.
以點O為原點,OM所在直線為x軸,OC所
在直線為y軸,OA所在直線為z軸,建立空間
直角坐標系.(2分)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/images26.png)
設CD=1,則O(0,0,0),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/25.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/26.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/27.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/28.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/29.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/30.png)
.(4分)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/31.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/32.png)
,即AB⊥CD.(6分)
(Ⅱ)∵CD⊥平面ABC,
∴平面ABC的法向量為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/33.png)
.(7分)
設平面ABD的法向量為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/34.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/35.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/36.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/37.png)
,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/38.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/39.png)
,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/40.png)
.
∴令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/41.png)
,則x=-3,z=-1.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/42.png)
.(9分)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/43.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/44.png)
.
∵二面角D-AB-C是銳角,
∴二面角D-AB-C的大小為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/45.png)
.(11分)
(Ⅲ)∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/46.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/47.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/48.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/49.png)
.
∴異面直線AC和BD所成角為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212856241342422/SYS201310232128562413424019_DA/50.png)
.(14分)
點評:本小題主要考查棱錐的結構特征,二面角和線面關系等基本知識,同時考查空間想象能力和推理、運算能力.