Question

（1）求證：n∈N^*時(shí)，(

5

+2) 2n+1-(

5

-2) 2n+1為正整數(shù)；
（2）設(shè)(

5

+2) 2n+1=m+α(m，n∈N*，0＜α＜1)，求證：α（m+α）=1．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)式定理展開即可證明；
（2）利用（1）的結(jié)論即可找出其小數(shù)α，進(jìn)而可證明結(jié)論．

解答：證明：（1）當(dāng)n∈N^*時(shí)，(

5

+2) 2n+1-(

5

-2) 2n+1
=[(

5

)2n+1+

C

1 2n+1

(

5

)2n×2+

C

2 2n+1

(

5

)2n-1×22+…+

C

2n 2n+1

5

×22n+22n+1]-[(

5

)2n+1-

C

1 2n+1

(

5

)2n×2+

C

2 2n+1

(

5

)2n-1×2+…+

C

2n 2n+1

5

×22n-2²ⁿ⁺¹]
=2

C

1 2n+1

(

5

)2n×2+2

C

3 2n+1

(

5

)2n-2×23+…+2×2²ⁿ⁺¹，
凡是含有

5

時(shí)，其指數(shù)為偶數(shù)，因此上式為正整數(shù)，故結(jié)論成立．
（2）由（1）可知：當(dāng)n∈N^*時(shí)，(

5

+2) 2n+1-(

5

-2) 2n+1為正整數(shù)，
而0＜

5

-2＜1，∴0＜(

5

-2)2n+1＜1；
再由(

5

+2) 2n+1=m+α(m，n∈N*，0＜α＜1)，可得α=(

5

-2)2n+1，
∴α（m+α）=(

5

-2)2n+1(

5

+2)2n+1=[(

5

-2)(

5

+2)]2n+1=1²ⁿ⁺¹=1．
∴α（m+α）=1．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握二項(xiàng)式定理及善于利用已證明的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．