Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，函數(shù)g（x）=e^x，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若?x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜

x-m+3

x

成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=0時(shí)，對于?x∈（0，+∞），求證：f（x）＜g（x）-2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 先求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別討論①當(dāng)a≥0時(shí)②當(dāng)a＜0的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）不等式轉(zhuǎn)化為m＜x-ex

x

+3成立，令h(x)=x-ex

x

+3，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，從而得到h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而h（x）＜h（0），從而求出m的范圍；
（Ⅲ）令φ（x）=g（x）-f（x）-2，求出φ（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出φ（x）的最小值，進(jìn)而f（x）＜g（x）-2．

解答： 解：（Ⅰ） 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=a+

1

x

（x＞0）．
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
②當(dāng)a＜0時(shí)，若x∈(0，-

1

a

)，f′（x）＞0，
∴f（x）在x∈(0，-

1

a

)上為增函數(shù)；
若x∈(-

1

a

，+∞)，f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈(-

1

a

，+∞)上為減函數(shù)．
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在(0，-

1

a

)上為增函數(shù)，在(-

1

a

，+∞)上為減函數(shù)．

（Ⅱ）∵?x∈（0，+∞），使得不等式g(x)＜

x-m+3

x

成立，
∴?x∈（0，+∞），使得m＜x-ex

x

+3成立，
令h(x)=x-ex

x

+3，則h′(x)=1-ex(

x

+

1

2 x

)，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，∵e^x＞1，

x

+

1

2 x

≥2

x • 1 2 x

=

2

，
∴ex(

x

+

1

2 x

)＞1，
∴h′（x）＜0，從而h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0）=3，
∴m＜3．

（Ⅲ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）-f（x）-2，則φ（x）=e^x-lnx-2，
∴φ′(x)=ex-

1

x

，且φ′（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
設(shè)φ′（x）=0的根為x=t，則et=

1

t

，即t=e^-t．
∵當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上為減函數(shù)；當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上為增函數(shù)，
∴φ(x)min=φ(t)=et-lnt-2=et-lne-t-2=et+t-2
∵φ′（1）=e-1＞0，φ′(

1

2

)=

e

-2＜0，
∴t∈(

1

2

，1)，
由于φ（t）=e^t+t-2在t∈(

1

2

，1)上為增函數(shù)，
∴φ(x)min=φ(t)=et+t-2＞e

1

2

+

1

2

-2＞

2.25

+

1

2

-2=0，
∴f（x）＜g（x）-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，分類討論，是一道綜合題．