Question

函數(shù)．
（I）若f（x）在x=2處取得極值，求p的值；
（II）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)求p的取值范圍；
（III）若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求p的取值范圍．

Answer 1

解：（I）f′（x）=
∵f（x）在x=2處取得極值，∴f′（2）=0
∴，∴p=；
（II）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立
若f′（x）≥0恒成立，則在（0，+∞）上恒成立，即
若f′（x）≤0恒成立，則在（0，+∞）上恒成立，即
令=
∴x=1時(shí)，h（x）_max=1；x→0或x→+∞時(shí)，h（x）_min→0
∴p≤0或p≥1；
（III）∵g（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，∴g（x）的值域?yàn)閇2，2e]．
①若p≥1，由（II）知，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，∴f（x）的值域?yàn)閇0，]
∵在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
∴，∴p＞；
②若p≤0，由（II）知，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，∴f（x）的值域?yàn)閇，0]
∵f（x）_max=0＜2=g（x）_min，∴此時(shí)不滿足題意
③若0＜p＜1，則≤，函數(shù)在[1，e]上單調(diào)遞增
∴≤e-
∵e-＜2=g（x）_min，∴此時(shí)不滿足題意
綜上，p＞．
分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在x=2處取得極值，可得f′（2）=0，從而可求p的值；
（II）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，若f′（x）≥0恒成立，則在（0，+∞）上恒成立，即；若f′（x）≤0恒成立，則在（0，+∞）上恒成立，即，由此可求p的取值范圍；
（III）先確定g（x）的值域?yàn)閇2，2e]．再分類討論，確定f（x）的值域，利用在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，構(gòu)建不等式，即可求p的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．