Question

已知函數(shù)y=f（x）=sin²x+sinx•cosx+cos2x
（Ⅰ）求y=f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）用三角函數(shù)的二倍角公式與和正弦的和差角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)化簡(jiǎn)后的解析式利用相關(guān)公式求周期．
（II）由（I）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在x∈[0，

π

2

]上的代值域即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意
y=f(x)=sin2x+sinx•cosx+cos2x=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x+cos2x（2分）=

1

2

(cos2x+sin2x)+

1

2

=

2

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)+

1

2

（4分）
∴y=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

（5分）
∴y=f（x）的最小正周期T=π．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴y=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

由x∈[0，

π

2

]得2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，（8分）
所以sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]（10分）
從而f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∈[0，

1+ 2

2

]（11分）
即函數(shù)y=f（x）的取值范圍是[0，

1+ 2

2

]（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式及利用求周期的公式求周期，以及根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求三角函數(shù)的值域，屬于三角函數(shù)的基礎(chǔ)題，考查的知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)相當(dāng)全面，知識(shí)性較強(qiáng)．