Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AE⊥BD，CF⊥BD，沿對(duì)角線BD把△BCD折起，使二面角C-BD-A的大小為60°，則線段AC的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：首先在矩形ABCD中，分別求出AE，EF，CF的長(zhǎng)，在平面ABD內(nèi)，過F作FH∥AE，且FH=AE，連接AH，易得四邊形AEFH為矩形，由FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH為二面角C-BD-A的平面角，且為60°，求得CH，再由線面垂直得到△ACH為直角三角形，由勾股定理，即可得到AC的長(zhǎng)．

解答： 解：在直角三角形ABD中，AB=2，AD=1，BD=

5

，
AE=

2

5

，DE=

1- 4 5

=

1

5

，
同理直角三角形ABC中，CF=

2

5

，BF=

1

5

，
則EF=BD-DE-BF=

3

5

，
在平面ABD內(nèi)，過F作FH∥AE，且FH=AE，連接AH，易得四邊形AEFH為矩形，
則AH=EF=

3

5

，AH∥EF，
FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH為二面角C-BD-A的平面角，且為60°，
即CH=CF=

2

5

，
由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，
即有AH⊥CH，
則AC=

AH2+CH2

=

9 5 + 4 5

=

65

5

．
故答案為：

65

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間的二面角的求法，考查空間線面的位置關(guān)系，同時(shí)考查基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．