Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f′（x），在定義域內(nèi)按①當(dāng)b≥1時(shí)，②當(dāng)b＜1時(shí)，③當(dāng)0＜b＜1時(shí)三種情況解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，根據(jù)極值點(diǎn)的定義即可求得；

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）的定義域?yàn)椋?1，+∞）…2
f′(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

…4
令g（x）=2x²+2x+b，則g（x）在(-

1

2

，+∞)上遞增，在(-1，-

1

2

)上遞減，
∴g(x)min=g(-

1

2

)=-

1

2

+b．
當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，g(x)min=-

1

2

+b＞0，g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，∴f′（x）＞0，
即當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上單調(diào)遞增…6
（II）分以下幾種情形討論：
（1）由（I）知當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)．
（2）當(dāng)b=

1

2

時(shí)，f′(x)=

2(x+ 1 2 )2

x+1

，
∴x∈(-1，-

1

2

)時(shí)，f′（x）＞0，x∈(-

1

2

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，
∴b=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點(diǎn)…8
（3）當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，解f′（x）=0得兩個(gè)不同解x1=

-1- 1-2b

2

，x2=

-1+ 1-2b

2

．
當(dāng)b＜0時(shí)，x1=

-1- 1-2b

2

＜-1，x2=

-1+ 1-2b

2

＞-1，
∴x₁∉（-1，+∞），x₂∈（-1，+∞），
此時(shí)f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)x2=

-1+ 1-2b

2

…10
當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，x₁，x₂∈（-1，+∞），f′（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，f′（x）在（x₁，x₂）上小于0，
此時(shí)f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)x1=

-1- 1-2b

2

和一個(gè)極小值點(diǎn)x2=

-1+ 1-2b

2

綜上可知，b＜0時(shí)，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)x2=

-1+ 1-2b

2

；0＜b＜

1

2

時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)x1=

-1- 1-2b

2

和一個(gè)極小值點(diǎn)x2=

-1+ 1-2b

2

b≥

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點(diǎn)．…13

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，注意f′（x₀）=0是x₀為可導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值點(diǎn)的必要不充分條件．