Question

函數y=log₂（-x²+2x+7）值域是________．

Answer 1

（-∞，3]
分析：由題意，函數y=log₂（-x²+2x+7）是一個復合函數，其內層函數是t=-x²+2x+7，外層函數是y=log₂t，故可先由二次函數的性質求出內層函數的值域，再由對數函數的單調性求出函數y=log₂（-x²+2x+7）值域
解答：函數y=log₂（-x²+2x+7）是一個復合函數，其內層函數是t=-x²+2x+7，外層函數是y=log₂t
由于t=-x²+2x+7═-（x-1）²+8，可得t∈（0，8]
∴y=log₂t≤log₂8=3
即函數y=log₂（-x²+2x+7）值域是（-∞，3]
故答案為（-∞，3]
點評：本題考查對數型復合函數的值域求解，此類函數值域的求解一般分兩步，先求內層函數的值域，再求外層函數在內層函數值域上的值域，本題考查了二次函數的性質，對數函數的性質，解題的關鍵是理解掌握復合函數值域求解的方法技巧--由內而外，這是一個對任何類型的復合函數值域求解問題都適用的方式，本題考查了轉化的思想