Question

已知函數(shù) f（x）的定義域為R，且對任意 x∈Z，都有 f（x）=f（x-1）+f（x+1）．若f（-1）=6，f（1）=7，則 f（2012）+f（-2012）=________．

Answer 1

-13
分析：由題設條件知，理解對任意正整數(shù)x，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1）很關鍵，本題已知自變量±1與±2012差值太大，兩函數(shù)值之間的關系一般要借助函數(shù)的周期性找到關聯(lián)，考查恒等式，可構造出f（x+1）=f（x）+f（x+2），與f（x）=f（x-1）+f（x+1）聯(lián)立解出函數(shù)的周期，再求函數(shù)值
解答：解：因為f（x）=f（x-1）+f（x+1）
所以f（x+1）=f（x）+f（x+2）
兩式相加得0=f（x-1）+f（x+2）
即：f（x+3）=-f（x）
∴f（x+6）=f（x）
f（x）是以6為周期的周期函數(shù)
2012=6×335+2，-2012=-6×335-2
∴f（2012）=f（2）=-f（-1）=-6
f（-2012）=f（-2）=-f（1）=-7
∴f（2012）+f（-2012）=-13
故答案為-13
點評：本題考查對抽象函數(shù)表達式的理解和運用，解題的關鍵是由恒等變形得出函數(shù)的周期，本題的難點觀察出解題的方向是研究函數(shù)的周期性，此類題有一個明顯的特征那就是題設條件中必有恒等式，且要求的函數(shù)值自變量與已知函數(shù)值的自變量差值較大，不可能通過恒等式變形求出，題后注意總結這一特征，方便以后遇到同類題時能快速想到解題的方法