Question

已知曲線C：，給出下列四個(gè)命題：
①曲線C與兩坐標(biāo)圍成的圖形面積不大于
②曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為
③曲線C關(guān)于點(diǎn)（，）中心對(duì)稱
④當(dāng)x≠0，1時(shí)，曲線C上所有點(diǎn)處的切線斜率為負(fù)值
其中正確命題個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：利用曲線方程的特點(diǎn)結(jié)合曲線的圖象分別進(jìn)行判斷即可．
解答：曲線方程為，交換x，y的位置后曲線方程不變，所以曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且在第一象限內(nèi)，因?yàn)辄c(diǎn)（，）在曲線上，由圖象可知曲線在直線y=-x+1的下方，且為凹函數(shù)如圖：
由以上分析可知：①曲線C與兩坐標(biāo)圍成的圖形面積不大于，正確．
②曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為，②正確．
③因?yàn)辄c(diǎn)（，）在曲線上，所以由圖象可知關(guān)于點(diǎn)（，）在曲線上，不對(duì)稱所以③錯(cuò)誤．
④因?yàn)楹瘮?shù)為凹函數(shù)，所以當(dāng)x≠0，1時(shí)，曲線C上所有點(diǎn)處的切線斜率為負(fù)值，所以④正確
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查曲線方程的性質(zhì)的判斷和推理，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)難度較大．