設ABCD是矩形，沿對角線BD將△BDC折起，使C點在底面DAB內(nèi)的射影H恰好落在AB邊上(如圖)．

　　

(1)求證：平面ABC⊥平面ACD；

(2)求證：平面DBC⊥平面ACD；

(3)如果AD∶AB＝1∶，試求二面角C－AD－B的正弦值．

答案：
解析：

　　(1)AB為直線BC在平面ABD內(nèi)的射影，而AD⊥AB(已知)，由三垂線定理，得AD⊥BC，又由已知有BC⊥CD，

　　∴BC⊥平面ACD，BC平面ABC．

　　∴面ABC⊥面ACD．

　　(2)BC平面DBC ∴平面DBC⊥平面ACD．

　　(3)AH為AC在平面ACD的射影，又AH⊥AD ∴AC⊥AD．

　　從而∠CAH為二面角C－AD－B的平面角．

　　設AD＝a，AB＝a，則DC＝a．

　　在Rt△ACD中，AC＝，又BC⊥平面ACD

　　∴BC⊥AC ∴sin∠CAH＝＝＝．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•普陀區(qū)二模）某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是個半圓，固定點E為CD的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿（MN和AB、DC不重合）．
（1）當MN和AB之間的距離為1米時，求此時三角通風窗EMN的通風面積；
（2）設MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風窗EMN的通風面積S（平方米）表示成關于x的函數(shù)S=f（x）；
（3）當MN與AB之間的距離為多少米時，三角通風窗EMN的通風面積最大？并求出這個最大面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•靜安區(qū)一模）某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．
（1）設MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關于x的函數(shù)；
（2）求△EMN的面積S（平方米）的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．
（1）設MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關于x的函數(shù)；
（2）求△EMN的面積S（平方米）的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年上海市靜安區(qū)高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．
（1）設MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關于x的函數(shù)；
（2）求△EMN的面積S（平方米）的最大值．

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