Question

10．公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和為S_n，且${S_n}={（\frac{{{a_n}+k}}{2}）^2}$對(duì)n∈N^*成立．
（1）求常數(shù)k的值以及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}中的部分項(xiàng)${a_{k_1}}，{a_{k_2}}，{a_{k_3}}，…，{a_{k_n}}，…$，恰成等比數(shù)列，其中k₁=2，k₃=14，求k_n．

Answer 1

分析 （1）法一：條件化為2$\sqrt{S_n}$=a_n+k對(duì)n∈N*成立．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，n=1，2，3，
求解即可．
法二：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差為d，表示出等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，
帶入${S_n}={（\frac{{{a_n}+k}}{2}）^2}$對(duì)n∈N^*成立．利用待定系數(shù)法求解常數(shù)k的值以及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由題意設(shè)c_n=${a}_{{k}_{n}}$則數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列，且${c}_{1}={a}_{{k}_{1}}={a}_{2}=3$，c₃=${a}_{{k}_{2}}$=a₁₄=27．
故等比數(shù)列{c_n}的公比q滿足q²=$\frac{c3}{c1}$=9．可得q，可得{c_n}的通項(xiàng)，即可求出k_n．

解答 解：（1）法一：條件化為2$\sqrt{Sn}$=a_n+k對(duì)n∈N*成立．
設(shè)等差數(shù)列公差為d，則$2\sqrt{n{a}_{1}+\frac{{dn}^{2}-nd}{2}}$=a₁+（n-1）d+k．
分別令n=1，2，3得：$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{{a}_{1}}={a}_{1}+k…①}\\{2\sqrt{2{a}_{1}+d}={a}_{1}+d+k…②}\\{2\sqrt{3{a}_{1}+3d}={a}_{1}+2d+k…③}\end{array}\right.$
由①+③-2×②得，$\sqrt{a}_{1}$+$\sqrt{3{a}_{1}+3d}$=2$\sqrt{2{a}_{1}+d}$．兩邊平方得，4a₁+d=2$\sqrt{3{{a}_{1}}^{2}+3{a}_{1}d}$
兩邊再平方得，4a₁²-4a₁d+d²=0．解得d=2a₁．
代入②得，4$\sqrt{{a}_{1}}$=3a₁+k，④
由④-①得，a₁=$\sqrt{{a}_{1}}$．所以a₁=0，或a₁=1．
又當(dāng)a₁=0時(shí)，d=0不合題意．
∴a₁=1，d=2．
代入①得k=1．
而當(dāng)k=1，a₁=1，d=2時(shí)，S_n=n²，a_n=2n-1，等式 ${S_n}={（\frac{{{a_n}+k}}{2}）^2}$對(duì)n∈N^*成立．
故得k=1，a_n=2n-1．
法二：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
則S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\fracvzbnlf1{2}$n²+（a₁-$\fracnzntv9z{2}$）n，a_n=a₁+（n-1）d=dn+（a₁-d）．
代入${S_n}={（\frac{{{a_n}+k}}{2}）^2}$得，$\fracbrhzjrt{2}$n²+（a₁-$\fracbjxz7tf{2}$）n=$\frac{1}{4}$[dn+（a₁+k-d）]²，
即2dn²+（4a₁-2d）n=d²n²+2d（a₁+k-d）n+（a₁+k-d）²．  
∵上面等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，
∴由多項(xiàng)式恒等，可得$\left\{\begin{array}{l}{2d=ztdfbz1^{2}}\\{4{a}_{1}-2d=2d（{a}_{1}+k-d）}\\{{a}_{1}+k-d=0}\end{array}\right.$，
∵d≠0，
∴解得，$\left\{\begin{array}{l}d=2\\ a_{1}=1，k=1\end{array}$
故得常數(shù)k=1，通項(xiàng)公式a_n=2n-1．
（2）設(shè)c_n=${a}_{{k}_{n}}$則數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列，且${c}_{1}={a}_{{k}_{1}}={a}_{2}=3$，c₃=${a}_{{k}_{2}}$=a₁₄=27．
故等比數(shù)列{c_n}的公比q滿足q²=$\frac{c3}{c1}$=9．
又c_n＞0，所以q=3．所以c_n=c₁q^n-1=3×3^n-1=3ⁿ． 
又c_n=${a}_{{k}_{n}}$=2k_n-1，所以2k_n-1=3ⁿ．
由此可得k_n=$\frac{1}{2}$×3ⁿ+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，性質(zhì)，前n項(xiàng)和以及運(yùn)算能力，是中檔題．