Question

【題目】已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=kx﹣2k+5，對(duì)任意的m∈[1，4]，總存在n∈[1，4]，使得f（m）=g（n）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=﹣1，y=1，則由已知f（0）﹣f（1）=﹣1（﹣1+2+1）

∴f（0）=﹣2

（2）解：令y=0，則f（x）﹣f（0）=x（x+1）

又∵f（0）=﹣2

∴f（x）=x2+x﹣2

（3）解：記f（x）=x2+x﹣2，x∈[1，4]，值域?yàn)锳，g（x）=kx﹣2k+5，x∈[1，4]，值域?yàn)锽，

∵對(duì)任意的m∈[1，4]，總存在n∈[1，4]使f（m）=g（n），

∴AB

又f（x）=x2+x﹣2的對(duì)稱軸 ，

∴f（x）在[1，4]上單增，

∴f（x）min=0，f（x）max=18，

∴A=[0，18]

又g（x）=kx﹣2k+5，x∈[1，4]

①當(dāng)k=0時(shí)，g（x）=5，

∴B={5}不合題意；

②當(dāng)k＞0時(shí)，g（x）在[1，4]上單增，

∴B=[5﹣k，2k+5]，又AB

∴ ，

∴

③當(dāng)k＜0時(shí)，g（x）在[1，4]上單減，

∴B=[2k+5，5﹣k]，又AB

∴ ，

∴k≤﹣13

所以k的取值范圍為：k≤﹣13或

【解析】（1）利用賦值法，令x=﹣1，y=1，可求f（0）（2）利用賦值法，令y=0，則f（x）﹣f（0）=x（x+1），結(jié)合f（0）=﹣2可求（3）設(shè)函數(shù)f（x）x∈[1，4]的值域?yàn)锳，g（x），x∈[1，4]的值域?yàn)锽，由題意可得AB，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求A，對(duì)g（x）=kx﹣2k+5，x∈[1，4]，分類討論：①當(dāng)k=0時(shí)，②當(dāng)k＞0，③當(dāng)k＜0時(shí)，結(jié)合函數(shù)g（x）在[1，4]上單調(diào)性可求B，從而可求k的范圍
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)在上遞減，當(dāng)時(shí)，．