Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2+bx+4，g（x）=mx³-6mx²+2（m≠0），f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=-3x+

10

3

．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）是否總存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=-3x+

10

3

，建立方程組，從而可求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）要對(duì)任意的x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，則f（x）_max＜g（x）_max，求出函數(shù)的最大值，建立不等式，即可確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=x²+2ax+b
∵f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=-3x+

10

3

．
∴

f′(1)=-3 f(1)= 1 3

∴

1+2a+b=-3 a+b+4=0

∴a=0，b=-4；
（Ⅱ）要對(duì)任意的x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，則f（x）_max＜g（x）_max
由（Ⅰ）知，f(x)=

1

3

x3-bx+4，f′（x）=x²-4
令f′（x）=x²-4=0，得x=2
又f（0）=4，f（2）=-

4

3

，f（3）=1
∴當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）_max=4
g'（x）=3mx²-12mx=3mx（x-4），
令g'（x）=0，得x=0
又g（-1）=2-7m，g（0）=2，g（2）=2-16m
當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）_max=g（0）=2＜4，不合題意；
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）_max=g（2）=2-16m，由2-16m＞4，得m＜-

1

8

故實(shí)數(shù)m的取值范圍(-∞，-

1

8

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．