Question

3．在曲線C上的動點P（a，a²+2a）與動點Q（b，b²+2b）（a＜b＜0）的切線互相垂直，則b-a最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． -$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意可得曲線y=x²+2x上存在兩點處的切線互相垂直，求出函數(shù)y=x²+2x的導數(shù)，結(jié)合兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得b-a=$\frac{1}{-4（a+1）}$+（-a-1），（a+1＜0），運用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：由題意可得曲線y=x²+2x上存在兩點處的切線互相垂直，
由y=x²+2x的導數(shù)為y′=2x+2，
可得（2a+2）（2b+2）=-1，
由a+1＜b+1，可得a+1＜0，
且b=$\frac{1}{-4（a+1）}$，b-a=$\frac{1}{-4（a+1）}$+（-a-1）≥2$\sqrt{（-a-1）•\frac{1}{-4（a+1）}}$=2×$\frac{1}{2}$=1，
當且僅當$\frac{1}{-4（a+1）}$=（-a-1），解得a=-$\frac{3}{2}$，可得b-a的最小值為1．
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查基本不等式的運用：求最值，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．