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已知函數f(x)=(x-2m)(nx+2)(m>0,n>0)為偶函數.
(1)若k≤f(2)+6m恒成立,求k的取值范圍;
(2)當m=1時,若函數g(x)=(a-2)lnx+f(x)在區(qū)間(2,3)內不是單調函數,求實數a的取值范圍.
考點:利用導數研究函數的單調性,函數奇偶性的性質
專題:導數的綜合應用
分析:(1)由已知得:f(x)=nx2+(2-2mn)x-4m,又f(x)為偶函數,得f(2)=4n-4m,從而k≤[f(2)+6m]min=4
2
,
(2)求出函數f(x)的表達式,求出函數g(x)的導數,再通過討論a的范圍,從而解決問題.
解答: 解:(1)由已知得:f(x)=nx2+(2-2mn)x-4m,
又f(x)為偶函數,∴2-2mn=0,即mn=1,
∴f(2)=4n-4m,
∴f(2)+6m=4n+2m≥2
4n•2m
=4
2

又k≤f(2)+6m恒成立,
∴k≤[f(2)+6m]min=4
2
,
∴k的范圍是(-∞,4
2
];
(2)由(1)得:m=1時,n=1,
∴f(x)=x2-4,
∴g(x)=(a-2)lnx+x2-4,
∴g′(x)=
2x2+(a-2)
x

①a≥2時,g′(x)>0,則g(x)在(2,3)單調遞增,
②a<2時,g′(x)=
2(x+
2-a
2
)(x-
2-a
2
)
x

又函數g(x)在區(qū)間(2,3)內不是單調函數,
∴2<
2-a
2
<3,
∴-16<a<-6,
∴a的范圍是(-16,-6).
點評:本題考察了函數的單調性,求參數的范圍,導數的應用,是一道綜合題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

函數y=
1-x
x
+
x-2x2
的定義域為( 。
A、(
1
2
,1)
B、(0,
1
2
]
C、[0,
1
2
]
D、[
1
2
,1]

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科目:高中數學 來源: 題型:

某幾何體ABC-A1B1C1的三視圖和直觀圖如圖所示.
(Ⅰ)求證:平面AB1C1⊥平面AA1C1C;
(Ⅱ)若E是線段AB1上的一點,且滿足VE-AA1C1=
1
9
VABC-A1B1C1
,求AE的長.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設f(x)=
ex
1+ax2
,其中a為正實數.
(Ⅰ)當a=
4
3
時,求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)為R上的單調函數,求a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,圓周上有n個固定點,分別為A1,A2,…,An(n∈N*,n≥2),在每一個點上分別標上1,2,3中的某一個數字,但相鄰的兩個數字不相同,記所有的標法總數為an
(1)寫出a2,a3,a4的值;
(2)寫出an的表達式,并用數學歸納法證明.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=alnx-ax-3(a<0).
(Ⅰ)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若函數y=f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,對于任意的t∈[0,1],函數g(x)=x3+x2[f′(x)+m]在區(qū)間(t,2)上總不是單調函數,其中f′(x)為f(x)的導函數,求實數m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

試求關于x的函數y=-x2+mx+2在0≤x≤2上的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N分別是CC1,BC的中點,點P在線段A1B1上,且
A1P
A1B1

(1)證明:無論λ取何值,總有AM⊥PN;
(2)當λ=
1
2
時,求直線PN與平面ABC所成角的正切值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在極坐標系中,曲線C的極坐標方程為ρ=4
2
sin(θ+
π
4
).現(xiàn)以點O為原點,極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數方程為
x=-2+
1
2
t
y=-3+
3
2
t
(t為參數).
(I)寫出直線l和曲線C的普通方程;
(Ⅱ)設直線l和曲線C交于A,B兩點,定點P(-2,-3),求|PA|•|PB|的值.

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