Question

已知函數f（x）=（x-2m）（nx+2）（m＞0，n＞0）為偶函數．
（1）若k≤f（2）+6m恒成立，求k的取值范圍；
（2）當m=1時，若函數g（x）=（a-2）lnx+f（x）在區(qū)間（2，3）內不是單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數奇偶性的性質

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由已知得：f（x）=nx²+（2-2mn）x-4m，又f（x）為偶函數，得f（2）=4n-4m，從而k≤[f（2）+6m]_min=4

2

，
（2）求出函數f（x）的表達式，求出函數g（x）的導數，再通過討論a的范圍，從而解決問題．

解答： 解：（1）由已知得：f（x）=nx²+（2-2mn）x-4m，
又f（x）為偶函數，∴2-2mn=0，即mn=1，
∴f（2）=4n-4m，
∴f（2）+6m=4n+2m≥2

4n•2m

=4

2

，
又k≤f（2）+6m恒成立，
∴k≤[f（2）+6m]_min=4

2

，
∴k的范圍是（-∞，4

2

]；
（2）由（1）得：m=1時，n=1，
∴f（x）=x²-4，
∴g（x）=（a-2）lnx+x²-4，
∴g′（x）=

2x2+(a-2)

x

，
①a≥2時，g′（x）＞0，則g（x）在（2，3）單調遞增，
②a＜2時，g′（x）=

2(x+ 2-a 2 )(x- 2-a 2 )

x

，
又函數g（x）在區(qū)間（2，3）內不是單調函數，
∴2＜

2-a 2

＜3，
∴-16＜a＜-6，
∴a的范圍是（-16，-6）．

點評：本題考察了函數的單調性，求參數的范圍，導數的應用，是一道綜合題．