Question

已知a∈R，討論函數(shù)f(x)＝e^x(x²＋ax＋a＋1)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)＋ex(2x＋a)＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]．令(x)＝0，得x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0． 　　(1)當(dāng)△＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a＝a(a－4)＞0， 　　即a＜0或a＞4時(shí)，方程x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1、x2，不妨設(shè)x1＜x2． 　　于是(x)＝ex(x－x1)(x－x2)．從而有下表： 　　即此時(shí)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)． 　　(2)當(dāng)△＝0，即a＝0或a＝4時(shí)，方程x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0有兩個(gè)相同的實(shí)根，即x1＝x2．于是(x)＝ex(x－x1)2． 　　故當(dāng)x＜x1時(shí)，(x)＞0；當(dāng)x＞x1時(shí)，(x)＞0．因此f(x)無(wú)極值點(diǎn)． 　　(3)當(dāng)△＜0，即0＜a＜4時(shí)，x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＞0，(x)＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]＞0，故f(x)為增函數(shù)，此時(shí)f(x)無(wú)極值．因此當(dāng)a＞4或a＜0時(shí)，f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)0≤a≤4時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn)． 　　點(diǎn)撥：結(jié)合二次函數(shù)的判別式來(lái)判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 　　解析：先求出(x)，令(x)＝0求出所有解，然后根據(jù)極值的條件判斷是否為極值．