Question

如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD.

 

（1）求證：AB⊥平面PAD

（2）求直線PC與底面ABCD所成角的大小；

（3）設(shè)AB=1，求點(diǎn)D到平面PBC的距離.

Answer 1

解法一：

（1）證明：

又AB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD

2）解：取AD的中點(diǎn)F，連結(jié)AF，CF

∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD，∴PF⊥平面BCD

∴CF是PC在平面ABCD上的射影，

∴所以∠PCF是直線PC與底面ABCD所成的角

在

即直線PC與底面ABCD所成的角的大小是

（3）解設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為h，

在△PBC中，易知PB=PC=

又

即點(diǎn)D到平面PBC的距離為

解法二：

（1）       證明：建立空間直角坐標(biāo)系D―xyz，如圖

不妨設(shè)A（1，0，0）

則B（1，1，0），P（

由

由AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD

（2）解：取AD的中點(diǎn)F，連結(jié)AF，CF

∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD，∴PF⊥平面BCD

∴CF是PC在平面ABCD上的射影，

∴所以∠PCF是直線PC與底面ABCD所成的角

易知C（0，1，0），F(xiàn)（

 

∴直線PC與底面ABCD所成角的大小為

（3）解：設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為h，

在△PBC中，易知PB=PC=

又

即點(diǎn)D到平面PBC的距離為