Question

17．已知sin（$\frac{π}{3}$-α）+sinα=$\frac{1}{2}$，cosβ=$\frac{1}{3}$且α，β∈（0，π），
（1）求α的值；
（2）求cos（α+2β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡已知可得sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，求得α+$\frac{π}{3}$的范圍，可求α+$\frac{π}{3}$的值，進而可得α的值．
（2）由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinβ的值，利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可計算求值得解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）因為：$sin（\frac{π}{3}-α）+sinα=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosα+\frac{1}{2}sinα=sin（α+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$，…（4分）
因為：α∈（0，π），
所以：$α+\frac{π}{3}∈（\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}）$，
所以：$α+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}$，
所以：$α=\frac{π}{2}$．…（8分）
（2）因為：$cosβ=\frac{1}{3}＞0，β∈（0，π）$，
所以：$β∈（0，\frac{π}{2}）$，
所以：$sinβ=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
所以：$cos（2β+α）=cos（2β+\frac{π}{2}）=-sin2β=-2sinβcosβ=-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$．…（14分）

點評 本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉化思想和計算能力，屬于基礎題．