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設f(x)=
x
a(x+2)
，方程f（x）=x有唯一解，已知f（xn）=xn+1（n∈N+），且f(x1)=
1
1005
．
（Ⅰ）求證：數列{
1
xn
}為等差數列，并求數列{xn}的通項公式；
（Ⅱ）若an=
4-4017xn
xn
，且bn=
a
2
n+1
+
a
2
n
2an+1an
（n∈N+），求數列{bn}的前n項和Sn．
分析：（Ⅰ）f（x）=x變形為 x=0或
1
a(x+2)
=1，解得a=
1
2
，故f(x)=
2x
x+2
，xn+1=
2xn
xn+2
，由此能證明數列{
1
xn
}為等差數列，并能求出數列{xn}的通項公式．
（Ⅱ）由an=
4-4017xn
xn
=2n-1，得bn=
a
2
n+1
+
a
2
n
2an+1an
=
1
2
(
2n+1
2n-1
+
2n-1
2n+1
)=1+1(
1
2n-1
-
1
2n+1
)，由此能求出數列{bn}的前n項和Sn．
解答：（本小題滿分12分）
（Ⅰ）f（x）=x變形為 x=0或
1
a(x+2)
=1，
∴
1
a(x+2)
=1的解為x=0
解得：a=
1
2
，
∴f(x)=
2x
x+2
…（2分）
f（xn）=xn+1，即xn+1=
2xn
xn+2
，
∴
1
xn+1
=
1
xn
+
1
2
，
∴{
1
xn
}為公差為
1
2
的等差數列，…（4分）
∴
1
xn
=
1
x1
+(n-1)
1
2
=
n+2008
2
，
∴xn=
2
n+2008
…（6分）
（Ⅱ）an=
4-4017xn
xn
=2n-1…（7分）
bn=
a
2
n+1
+
a
2
n
2an+1an
=
1
2
(
2n+1
2n-1
+
2n-1
2n+1
)=1+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)…（10分）
∴sn=n+(1-
1
2n+1
)=n+1-
1
2n+1
．…（12分）
點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設f(x)=
x
a(x+2)
，方程f（x）=x有唯一解，已知f（xn）=xn+1（n∈N*），且f(x1)=
1
1005
．
（1）求數列{xn}的通項公式；
（2）若an=
4-4017xn
xn
，且bn=
a
2
n+1
+
a
2
n
2an+1an
(n∈N*)，求和Sn=b1+b2+…+bn；
（3）問：是否存在最小整數m，使得對任意n∈N*，有f(xn)＜
m
2010
成立，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2005•重慶一模）設f(x)=
x
a(x+2)
，x=f（x）有唯一解，f(x1)=
1
1003
，f（xn）=xn+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求x2004的值；
（Ⅱ）若an=
4
xn
-4009，且bn=
a
2
n+1
+
a
2
n
2an+1an
(n∈N*)，求證：b1+b2+…+bn-n＜1；
（Ⅲ）是否存在最小整數m，使得對于任意n∈N*有xn＜
m
2005
成立，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•淮北一模）設函數f(x)=
x
a(x+2)
方程f（x）=x有唯一的解，已知f（xn）=xn+1（n∈N﹡）且f(x1)=
2
3

（1）求證：數列{
1
xn
}是等差數列；
（2）若an=
4-3xn
xn
，bn=
1
anan+1
，求sn=b1+b2+b3+…+bn；
（3）在（2）的冬件下，若不等式
k
(
1
a1
+1)(
1
a2
+1)…(
1
an
+1)
≤
1
2n+1
對一切n∈N﹡均成立，求k的最大值．

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科目：高中數學 來源：重慶一模 題型：解答題

設f(x)=
x
a(x+2)
，x=f（x）有唯一解，f(x1)=
1
1003
，f（xn）=xn+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求x2004的值；
（Ⅱ）若an=
4
xn
-4009，且bn=
a2n+1
+
a2n
2an+1an
(n∈N*)，求證：b1+b2+…+bn-n＜1；
（Ⅲ）是否存在最小整數m，使得對于任意n∈N*有xn＜
m
2005
成立，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

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