Question

某工廠用7萬(wàn)元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)了一臺(tái)新機(jī)器，運(yùn)輸安裝費(fèi)用2千元，每年投保、動(dòng)力消耗的費(fèi)用也為2千元，每年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的費(fèi)用逐年增加，第一年為2千元，第二年為3千元，第三年為4千元，依此類(lèi)推，即每年增加1千元．
（Ⅰ）求使用n年后，保養(yǎng)、維修、更換易損零件的累計(jì)費(fèi)用S（千元）關(guān)于n的表達(dá)式；
（Ⅱ）問(wèn)這臺(tái)機(jī)器最佳使用年限是多少年？并求出年平均費(fèi)用（單位：千元）的最小值．（最佳使用年限是指使年平均費(fèi)用最小的時(shí)間，年平均費(fèi)用=（購(gòu)入機(jī)器費(fèi)用+運(yùn)輸安裝費(fèi)用+每年投保、動(dòng)力消耗的費(fèi)用+保養(yǎng)、維修、更換易損零件的累計(jì)費(fèi)用）÷機(jī)器使用的年數(shù) ）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知可得保養(yǎng)、維修、更換易損零件的費(fèi)用成等差數(shù)列，根據(jù)首項(xiàng)公式，可得累計(jì)費(fèi)用的表達(dá)式；
（II）由（I）得到平均費(fèi)用的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式可得年平均費(fèi)用的最小值．

解答：解：（I）∵第一年為2千元，第二年為3千元，第三年為4千元，每年增加1千元
故每年的費(fèi)用構(gòu)造一個(gè)以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列
∴前n年的總費(fèi)用S=2+3+…+n+1=

n(n+3)

2

，
（II）設(shè)使用n年的年平均費(fèi)用為y，則
y=（72+2+2n+

n(n+3)

2

）÷n
=

72

n

+

n

2

+

7

2

≥2

36

+

7

2

=

31

2

當(dāng)

72

n

與

n

2

，即n=12時(shí)取等號(hào)．
故最佳使用年限是12年，這時(shí)年平均費(fèi)用最小，為

31

2

千元/年

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列求和，基本不等式，分析是題意，提煉出數(shù)學(xué)模型是解答的關(guān)鍵．