設(shè)橢圓C的中心在原點，長軸在x軸上，長軸的長等于2
3
，離心率為
3
3
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為A1，A2，點M是橢圓上異于A1，A2的任意一點，設(shè)直線MA1，MA2的斜率分別為kMA1，kMA2，證明kMA1•kMA2為定值．
分析：（1）利用橢圓的離心率、長軸、及a2=b2+c2的關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出；
（2）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的斜率計算公式即可證明．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
由已知得 2a=2
3
，
c
a
=
3
3
，
∴a=
3
，c=1，
又a2=b2+c2，∴b2=2．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
3
+
y2
2
=1．
（2）證明：由橢圓方程得A1(-
3
，0)，A2(
3
，0)，設(shè)M點坐標(biāo)（x0，y0），
則
x02
3
+
y02
2
=1⇒y02=
2
3
(3-x02)，
∵kMA1=
y0
x0+
3
，kMA2=
y0
x0-
3
，
∴kMA1•kMA2=
y02
x02-3
=
2
3
(3-x02)
x02-3
=-
2
3
．
∴kMA1•kMA2是定值-
2
3
．
點評：視力掌握橢圓的離心率、長軸、及a2=b2+c2的關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的斜率計算公式是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知對于任意實數(shù)k，直線(
3
k+1)x+(k-
3
)y-(3k+
3
)=0恒過定點F．設(shè)橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為2+
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)（m，n）是橢圓C上的任意一點，圓O：x2+y2=r2（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為
2
2
，其一個頂點的坐標(biāo)是（1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若斜率為2的直線l過橢圓C在y軸正半軸上的焦點，且與該橢圓交于A、B兩點，求AB的中點坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年浙江省高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本題滿分15分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知對于任意實數(shù)，直線恒過定點F. 設(shè)橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)（m，n）是橢圓C上的任意一點，圓O：與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置關(guān)系.

 

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設(shè)橢圓C的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為，其一個頂點的坐標(biāo)是（1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若斜率為2的直線l過橢圓C在y軸正半軸上的焦點，且與該橢圓交于A、B兩點，求AB的中點坐標(biāo)．

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