【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.

（1）求拋物線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點(diǎn)分別為，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為，求的取值范圍.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由題意確定p的值即可確定拋物線方程；

（2）很明顯切線斜率存在，由圓心到直線的距離等于半徑可得是方程的兩根，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得點(diǎn)的橫坐標(biāo) .結(jié)合韋達(dá)定理將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域的問(wèn)題即可.

（1）由拋物線定義,得，由題意得：

解得

所以，拋物線的方程為.

（2）由題意知，過(guò)引圓的切線斜率存在，設(shè)切線的方程為，則圓心到切線的距離，整理得，.

設(shè)切線的方程為,同理可得.

所以，是方程的兩根，.

設(shè)，由得，，

由韋達(dá)定理知，，所以，同理可得.

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則

.

設(shè)，則，

所以，，對(duì)稱軸，所以

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【題目】謝爾賓斯基三角形（Sierpinskitriangle）是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出的，如圖先作一個(gè)三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，我們用白色三角形代表挖去的面積，那么灰色三角形為剩下的面積（我們稱灰色部分為謝爾賓斯基三角形）．若通過(guò)該種方法把一個(gè)三角形挖3次，然后在原三角形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自謝爾賓斯基三角形的概率為______．

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（1）求橢圓的離心率；

（2）已知直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于另一點(diǎn)（不同于點(diǎn)），若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線的方程.

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【題目】以橢圓的中心O為圓心，以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓C及其“伴隨”的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作“伴隨”的切線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，記為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，將表示為m的函數(shù)，并求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知命題：關(guān)于的不等式無(wú)解；命題：指數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù).

（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若滿足為假命題且為真命題的實(shí)數(shù)取值范圍是集合，集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)分別與兩個(gè)定點(diǎn)，的連線的斜率之積為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，判斷直線與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅱ）求函數(shù)的極值.

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【題目】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，是的中點(diǎn)，，.

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（2）若，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知橢圓與直線交于兩點(diǎn)，不與軸垂直，圓.

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（2）若過(guò)線段的中點(diǎn)且垂直于的直線過(guò)點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍.

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