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已知函數f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8.若?x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),則實數a的取值范圍( �。�
A、(-∞,5]
B、[5,+∞)
C、(-
1
3
,+∞)
D、(-∞,-
1
3
)
分析:由題意知此題為恒成立問題,要求?x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),首先構造函數H(x)=f(x)-g(x),利用導數求H(x)在[0,+∞)上的最小值,因為兩個極值點大小沒法判斷,于是要進行分類討論,所求最小值含有a,只要令Hmin(x)>0,解出a的范圍即可.
解答:解:構造函數H(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,
只要證明H(x)在[0,+∞)上的最小值大于等于0即可;
H′(x)=3x2+2(2-a)x=x(3x+4-2a),令H′(x)=0得,
x1=0,x2=
2a-4
3

①若a>2時,x2>0;當0<x<x2時,H′(x)<0,H(x)為減函數;
當x>x2時,H′(x)>0,H(x)為增函數;
H(x)在x=x2處取極小值,也是最小值,Hmin(x2)=H(
2a-4
3
)=
(2a-4)3
27
+(2-a)×
(2a-4)2
9
+4
,
令Hmin(x2)≥0,解得a≤5,綜上2<a≤5;
②若a≤2時,x2<0;當x≥0時,H′(x)>0,H(x)為增函數;
H(x)在x=0處取極小值,也是最小值,Hmin(x2)=H(0)=4>0,恒成立;
∴a≤2,
綜上①②得a≤5.
故選A.
點評:解此題的關鍵是構造函數H(x),將恒成立問題轉化為函數求導求最值問題,是解此題的一般思路,另外此題還用到分類討論的思想.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( �。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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