Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a為常數(shù)），曲線y=f（x）在與y軸的交點(diǎn)A處的切線斜率為-1．
（1）求a的值及函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x₁＜ln2，x₂＞ln2，且f（x₁）=f（x₂），證明：x₁+x₂＜2ln2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的f′（x）=e^x-a．通過(guò)f′（x）=e^x-2＞0，即可求解函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）設(shè)x＞ln2，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-f（2ln2-x），分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及x₁＜ln2，x₂＞ln2，且f（x₁）=f（x₂）即可證明．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，
∴a=2．
∴f（x）=e^x-2x-1，f′（x）=e^x-2．
由f'（x）=e^x-2＞0，得x＞ln2．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，
（Ⅱ）證明：設(shè)x＞ln2，
∴2ln2-x＜ln2，
∴f（2ln2-x）=e^2ln2-x-2（2ln2-x）-1=$\frac{4}{{e}^{x}}$+2x-2ln2-1，
令g（x）=f（x）-f（2ln2-x）=$\frac{4}{{e}^{x}}$-4x+4ln2，（x＞ln2），
∴g′（x）=e^x+4e^-x-4≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=ln2時(shí)，等號(hào)成立，
∴g（x）在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，
又g（ln2）=0，
∴當(dāng)x＞ln2時(shí)，g（x）=f（x）-f（2ln2-x）＞g（ln2）=0，
即f（x）＞f（2ln2-x），
∴f（x₂）＞f（2ln2-x₂），
又f（x₁）=f（x₂），
∴f（x₁）＞f（2ln2-x₂），
由于x₂＞ln2，
∴2ln2-x₂＜ln2，
∵x₁＜ln2，
由（Ⅰ）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，
∴x₁＜2ln2-x₂，
即x₁+x₂＜2ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造法，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．是難題．