正四面體A-BCD中E、F分別是棱BC和AD之中點，則EF和AB所成的角（　�。�
分析：取AC的中點H，連接FH、EH、FC、FB．設正四面體棱長為2a，可以求得BF=CF=
3
a，所以在等腰△BCF中，求出EF=
2
a．在△ABC中，利用中位線得EH∥AB，所以∠FEH或其補角就是EF和AB所成的角．最后在△EFH中，根據(jù)HE=HF=a，EF=
2
a，利用余弦定理，可得cos∠FEH=
2
2
，所以∠FEH=45°，從而得到正確答案．
解答：解：取AC的中點H，連接FH、EH、FC、FB
設正四面體棱長為2a，則
等邊△ABD中，中線BF=
3
2
•2a=
3
a，同理可得CF=
3
a，
∴△FBC中，BF=CF=
3
a，BC=2a，E是BC中點
所以，由勾股定理得EF=
BF2-BE2
=
2
a
∵△ABC中，E、H分別是BC、AC的中點
∴EH∥AB，可得∠FEH或其補角就是EF和AB所成的角
∵HE、HF分別是等邊△ABC、等邊△ADC的中位線
∴HE=HF=a
∵△EFH中，HE=HF=a，EF=
2
a
∴cos∠FEH=
EH2+EF2-FH2
2•EH•EF
=
2
2
，可得∠FEH=45°
即異面直線EF和AB所成的角為45°．
故選A
點評：本題給出正四面體一組對棱的中點，求它們的連線與異面的棱所成的角，著重考查了空間異面直線及其所成的角的求法，屬于基礎題．
練習冊系列答案
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8、棱長都相等的四面體稱為正四面體．在正四面體A-BCD中，點M，N分別是CD和AD的中點，
給出下列命題：
①直線MN∥平面ABC；
②直線CD⊥平面BMN；
③三棱錐B-AMN的體積是三棱錐B-ACM的體積的一半．
則其中正確命題的序號為
①③
．

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如圖，在棱長為2的正四面體A-BCD中，若以△ABC為視角正面，則其正視圖的面積是（　�。�

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如圖1，在正四面體A-BCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則△EFG在該正四面體各個面上的射影所有可能是圖2中的
③④
③④
．

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設正四面體A-BCD中，E、F分別為AC、AD的中點，則△BEF在該四面體的面ADC上的射影可能是（　　）

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精英家教網(wǎng)在正四面體A-BCD中，棱長為4，M是BC的中點，P在線段AM上運動（P不與A、M重合），過點P作直線l⊥平面ABC，l與平面BCD交于點Q，給出下列命題：①BC⊥面AMD；②Q點一定在直線DM上 ③VC-AMD=4
2
．其中正確的是（　　）
A、①②B、①③C、②③D、①②③

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