Question

（2012•眉山二模）已知數(shù)列{a_n}中a₁=3，a₂=5，其前n項(xiàng)和滿足：S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

2n-1

an•an+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，證明：T_n＜

1

6

；
（3）證明：對(duì)任意的m∈（0，

1

6

），均存在n₀∈N^*，使得（2）中的T_n＞m成立．

Answer 1

分析：（1）由S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）得a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂，即可求得結(jié)論；
（2）b_n=

2n-1

an•an+1

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)，從而可求T_n，即可證得結(jié)論；
（3）由（2）可知T_n=

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)，若T_n＞m，則得

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)＞m，化簡(jiǎn)得

1-6m

3

＞

1

2n+1+1

，根據(jù)m∈（0，

1

6

），可得n＞log2(

3

1-6m

-1)-1，分類討論，即可求得結(jié)論．

解答：（1）解：由S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）得S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
∴a_n=a_n-1+2^n-1
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2^n-1+2^n-2+…+2²+5=2ⁿ+1（n≥3）
檢驗(yàn)知n=1、2時(shí)，結(jié)論也成立，故a_n=2ⁿ+1；
（2）證明：∵b_n=

2n-1

an•an+1

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)]=

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)＜

1

6

（3）證明：由（2）可知T_n=

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)，
若T_n＞m，則得

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)＞m，化簡(jiǎn)得

1-6m

3

＞

1

2n+1+1

．
∵m∈（0，

1

6

），∴1-6m＞0，∴2n+1＞

3

1-6m

-1，∴n＞log2(

3

1-6m

-1)-1，
當(dāng)log2(

3

1-6m

-1)-1＜1，即0＜m＜

1

15

時(shí)，取n₀=1即可，
當(dāng)log2(

3

1-6m

-1)-1≥1，即

1

15

≤m＜

1

6

時(shí)，則記log2(

3

1-6m

-1)-1的整數(shù)部分為S，取n₀=S+1即可，
綜上可知：對(duì)任意的m∈（0，

1

6

），均存在n₀∈N^*，使得（2）中的T_n＞m成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是累加法求通項(xiàng)，裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題．