Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足∵(

9

10

)a1+(

9

10

)2a2+…+(

9

10

)nan=

9

10

（n²+3n）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）分析數(shù)列{a_n}有沒(méi)有最大項(xiàng)，若有，求出這個(gè)最大項(xiàng)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）再寫(xiě)一式，兩式相減，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）確定數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，即可得到數(shù)列沒(méi)有最大項(xiàng)．

解答：解：（1）∵(

9

10

)a1+(

9

10

)2a2+…+(

9

10

)nan=

9

10

（n²+3n）①
∴n≥2時(shí)，(

9

10

)a1+(

9

10

)2a2+…+(

9

10

)n-1an-1=

9

10

[（n-1）²+3（n-1）]②
①-②可得(

9

10

)nan=

9

10

（2n+2）
∴n≥2時(shí)，an=2(n+1)•(

9

10

)1-n
∵n=1時(shí)，(

9

10

)a1=

9

10

×4，∴a₁=4，滿(mǎn)足上式
∴an=2(n+1)•(

9

10

)1-n；
（2）∵

an+1

an

=

2(n+2)•( 9 10 )-n

2(n+1)•( 9 10 )1-n

=

10

9

×(1+

1

n+1

)＞1，a_n＞0
∴a_n+1＞a_n
∴數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，因此數(shù)列沒(méi)有最大項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．