Question

已知△ABC和△DBC是兩個有公共斜邊的直角三角形，并且AB=AD=AC=2a，CD=

6

a．
（1）若P是AC邊上的一點，當△PBD的面積最小時，求二面角P-BD-A的平面角的正切值；
（2）能否找到一個球，使A，B，C，D都在該球面上，若不能，請說明理由；若能，求該球的內接圓柱的表面積的最大值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取BC之中點為O，連接AO，DO，由已知得AO⊥BC，AB⊥AC，AO⊥DO，從而AO⊥平面BCD，作PH⊥BC于H，HE⊥BD于E，連PE，則∠PEH是二面角P-BD-C的平面角，由此能求出二面角P-BD-A的平面角的正切值．
（2）取BC中點O，則OA=OB=OC=OD，存在以O為球心，半徑R=

2

a的球，由此能求出球的內接圓柱的表面積的最大值．

解答： 解：（1）取BC之中點為O，連接AO，DO，
∵AB=AC=AD=2a
則AO⊥BC，又AB⊥AC，則BC=2

2

a，AO=

2

a，
在△BCD中，∵CD=

6

a，
則DO=

2

a，且sin∠CBD=

3

2

，
在△OAD中，∵AO²+DO²=4a²=AD²，則AO⊥DO，
又BC∩DO=O，且BC，DO?平面BCD，則AO⊥平面BCD
作PH⊥BC于H，HE⊥BD于E，連PE，
PH⊥平面BCD，PH⊥HE，得PE⊥BD，
則∠PEH是二面角P-BD-C的平面角，
設PH=x=CH，∴BH=2

2

a-x，
∴EH=

3

2

(2

2

a-x)=

6

a-

3

2

x，
∴PE=

x2+( 6 a- 3 2 x)2

=

7 4 x2-3 2 ax+6a2

=

2

2

a•

7 4 (x- 6 2 7 a)2+ 24 7 a2

，
∵0＜x≤

2

a，∴x=

6 2

7

a時，S_△PBD最小，
此時PH=

6 2

7

a，EH=

4 6

7

a，則tan∠PEH=

PH

EH

=

3

2

，
過點O做OF⊥BD于F，連接AF，得AF⊥BD，
則∠AFO是二面角A-BD-C的平面角，
因O為BC之中點，且BD⊥CD，CD=

6

a，
則OF=

6

2

a，tan∠AFO=

AO

OF

=

2 3

3

，
設二面角P-BD-A的平面角為θ，則θ=∠AFO-∠PEH，
tanθ=tan(∠AFO-∠PEH)=

3

12

，即二面角P-BD-A的平面角的正切值為

3

12

．
（2）取BC中點O，
∵△ABC和△DBC是兩個有公共斜邊BC的直角三角形，
則OA=OB=OC=OD，
則存在以O為球心，半徑R=

2

a的球，
設該球的內接圓柱的底面半徑為x，高為y，
則有x2+

1

4

y2=2a2
令

x= 2 acosα y=2 2 asinα

(0＜α＜

π

2

)，

∴S表面積=2πxy+2πx2=4πa2(sin2α+ 1 2 cos2α+ 1 2 ) =4πa2[ 5 2 sin(2α+φ)+ 1 2 ]≤2(1+ 5 )πa2

所以該球的內接圓柱的表面積的最大值為2(1+

5

)πa2．

點評：本題考查二面角P-BD-A的平面角的正切值的求法，考查球的內接圓柱的表面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．