Question

若x∈（0，

π

2

），y∈（0，

π

2

），且tan2x=3tan（x-y），則x+y的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：設(shè)tan（x-y）=u，則tan2x=3tan（x-y）=3u，求得w=tan（x+y）=

2u

1+3u2

．再根據(jù)|w|≤

3

3

，
結(jié)合x+y∈（0，π），可得x+y的取值范圍．

解答： 解：∵x∈（0，

π

2

），y∈（0，

π

2

），∴0＜x+y＜π．
設(shè)tan（x-y）=u，x-y∈（-

π

2

，

π

2

），則u的值域是R，
∵tan2x=3tan（x-y）=3u，
∴tan（x+y）=tan[2x-（x-y）]=

tan2x-tan(x-y)

1+tan2xtan(x-y)

=

3u-u

1+3u2

=

2u

1+3u2

，
記為 w=tan（x+y）=

2u

1+3u2

．
∵|w|=

2|u|

1+3|u|2

=

2

1 |u| +3|u|

≤

2

2 3

=

3

3

，當且僅當|u|=

3

3

時，取等號．
∴-

3

3

≤tan（x+y）≤

3

3

，
結(jié)合x+y∈（0，π），可得x+y的取值范圍是（0，

π

6

]∪[

5π

6

，π），
故答案為：（0，

π

6

]∪[

5π

6

，π）．

點評：本題主要考查兩角和差的正切公式、基本不等式的應(yīng)用，解三角不等式，屬于基礎(chǔ)題．