14.已知圓錐雙曲線E:x2-y2=1.
(Ⅰ)設(shè)曲線E'表示曲線E的y軸左邊部分,若直線y=kx-1與曲線E'相交于A,B兩點(diǎn),求k的取值范圍;
(Ⅱ)在條件(Ⅰ)下,如果$\overrightarrow{AB}=6\sqrt{3}$,且曲線E'上存在點(diǎn)C,使$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OC}$,求m的值.

分析 (Ⅰ)將直線AB代入雙曲線方程,由題意,列不等式組,即可取得k的取值范圍;
(Ⅱ)利用弦長(zhǎng)公式求得k的值,根據(jù)向量向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求得C點(diǎn)坐標(biāo),代入曲線E'上,即可求得m的值.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程組;$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x^2}-{y^2}=1({x<0})\end{array}\right.$,整理得:(1-k2)x2+2kx-2=0(x<0)
從而有:$\left\{\begin{array}{l}1-{k^2}≠0\\△={({2k})^2}+8k>0\\{x_1}+{x_2}=\frac{-2k}{{1-{k^2}}}<0\\{x_1}•{x_2}=\frac{-2}{{1-{k^2}}}>0\end{array}\right.$,解得:-$\sqrt{2}$<k<-1,
∴k的取值范圍(-$\sqrt{2}$,-1);
(Ⅱ)丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x1-x1丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{{{({{x_1}+{x_2}})}^2}-4{x_1}•{x_2}}$=$2\sqrt{\frac{{({1+{k^2}})({2-{k^2}})}}{{{{({1-{k^2}})}^2}}}}$=6$\sqrt{3}$,
整理得28k4-55k2+25=0,k2=$\frac{5}{7}$或${k^2}=\frac{5}{4}$,
注意到$-\sqrt{2}<k<-1$,所以$k=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$,故直線AB的方程為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}x+y+1=0$,
設(shè)C(x0,y0),由已知$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OC}$,則(x1,y1)+(x2,y2)=(mx0,my0),
又${x_1}+{x_2}=\frac{-2k}{{1-{k^2}}}$=$-4\sqrt{5}$,y1+y2=k(x1+x2)-2=8,所以$C({\frac{{-4\sqrt{5}}}{m},\frac{8}{m}})$.C在曲線E'上,得$\frac{80}{m^2}-\frac{64}{m^2}=1$,解得:m=±4
但當(dāng)m=-4時(shí),所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上,不合題意,所以m=4為所求.

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,弦長(zhǎng)公式,向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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