Question

11．已知函數(shù)f（x）=sinx-xcosx．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（π，f（π））處的切線方程；
（Ⅱ）求證：當$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$時，$f（x）＜\frac{1}{3}{x^3}$；
（Ⅲ）若f（x）＞kx-xcosx對$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$恒成立，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（π），f（π），求出切線方程即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³，$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$，求出g（x）的單調(diào)性，從而證出結(jié)論；
（Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為k＜$\frac{sinx}{x}$對$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$恒成立，令m（x）=$\frac{sinx}{x}$，$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinx-xcosx，f′（x）=xsinx，
f′（π）=0，f（π）=π，
故切線方程是y-π=0；
（Ⅱ）證明：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³，$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$，
g′（x）=x（sinx-x），令h（x）=sinx-x，h′（x）=cosx-1＜0，
∴h（x）在$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$遞減，故h（x）＜h（0）=0，
∴g′（x）＜0，g（x）遞減，
∴g（x）＜g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{24{-π}^{3}}{24}$＜0，
故當$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$時，$f（x）＜\frac{1}{3}{x^3}$成立；
（Ⅲ）若f（x）＞kx-xcosx對$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$恒成立，
即k＜$\frac{sinx}{x}$對$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$恒成立，
令m（x）=$\frac{sinx}{x}$，$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$，
m′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$＜0，
∴m（x）在（0，$\frac{π}{2}$）遞減，
m（x）＞m（$\frac{π}{2}$）=$\frac{2}{π}$，
故k≤$\frac{2}{π}$．k的最大值是$\frac{2}{π}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立，是一道中檔題．